«Размышления математика»

«Бог создал натуральные числа. Всё остальное — дело рук человека» (Л.Кронекер).

«Математика есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связях с другими сферами деятельности человека» (Л.Морделл).

KqQZjzcc1iUЗнакомство со смежными научными областями расширяет кругозор и позволяет на время переключиться с волнующих проблем. В этой связи меня заинтересовала книга (доклад) профессора Морделла «Размышления математика» (1959 г.).

Математика и ее приложения (после трех лет изучения в вузе) не вызывают во мне бури восторга и радостного трепета. Возможно, чересчур много было теории… .

Книга, а точнее, небольшой доклад профессора Морделла, рассказывает о творческом (научном, математическом и пр.) мышлении.

Приведу несколько интересных цитат:

«Мыслят математики совершенно по-разному. Некоторые не могут этого делать без бумаги и карандаша. Их мышление не только значительно стимулируется наличием этих предметов, но и часто вообще невозможно без них. Свободные размышления, конечно, при этом не исключаются, но после них карандаш и бумага бывают необходимы. Другие математики умеют своим внутренним взором охватывать длинные цепи логического вывода и громоздких вычислений и видеть их с полной отчётливостью. Часто стимулирующим фактором является беседа с другим математиком, и именно таким методом было сделано немало совместных работ. Некоторые считают очень полезным чтение лекций или проведение семинаров.

Интуиция, прозрение или как бы это ни называлось — важный элемент исследования. Когда сталкиваешься с увлекательной проблемой и углубляешься в неё, случается, что, встретившись с трудностями, вдруг проникаешься верой, что существует путь, ведущий к их преодолению, и этот путь на самом деле отыскивается. Наверное, именно так случалось, когда были сделаны лучшие математические открытия. Новая идея, однако, может быть только началом, и потребуются дальнейшие усилия и эксперименты. Математическое экспериментирование подобно экспериментированию в естественных науках. Исследование может оказаться утомительным и влекущим множество безуспешных попыток; в этом случае начинаются отчаянное барахтанье и блуждания в разные стороны, однако это нельзя расценивать как бесполезную трату энергии и времени, поскольку здесь проверяется много различных путей и может быть найден наиболее правильный из них. Так постепенно возникают новые результаты и доказывается новая теорема. Нелишне напомнить, что для того, чтобы доказать, что A=B, бывает полезным доказать сначала, что X=Y.

Многие математики и психологи отводят большую роль подсознанию. В математическом творчестве часто сталкиваешься с препятствиями, о которые разбиваются все твои усилия. В этих случаях рекомендуется на время отставить проблему. Когда возвращаешься к ней после перерыва, она может быть решена почти без малейших усилий. Она падает к твоим ногам, как созревшее яблоко. Вспоминаю, что когда я занимался очень трудной проблемой нахождения минимума значения кубической формы от двух переменных, то я натолкнулся на такие препятствия, которые показались мне сначала непреодолимыми. Но, размышляя над предметом несколько позже, во время воскресного отдыха, я одолел их столь легко, что не мог понять, почему они причинили мне так много огорчений….

Проблема может прийти на ум во время чтения статьи или книги, во время лекции. Доказательство может показаться слишком длинным, довольно сложным или непрямым, трудным для понимания. Пытаясь разобраться в нём или найти более короткое доказательство, мы можем заметить, что основная идея является частным случаем более общей идеи; можем установить также, что идея пригодна для дальнейших неожиданных приложений. Отличительная черта хорошего математика состоит в том, что он всегда сумеет найти проблему и всегда обычно занят решением одной из них.

Проблемы и продвижения в математике могут появляться самыми неожиданными путями, скажем, из повседневных вопросов. Сейчас, например, когда так популярен футбол, каждый уверен, что он представляет себе, что такое шанс, вероятность, средняя величина и, конечно, перестановки. Хорошо известно, что теория вероятностей — столь важная и быстро развивающаяся часть математики — родилась из вопросов, поставленных перед Паскалем его другом; два равноценных игрока хотят прекратить игру раньше срока; в какой пропорции они должны разделить банк, если известен счёт каждого и ставка игры?

Имеется много проблем, классических и других, которые математикам очень бы хотелось решить, но которые до сего дня противостоят всем их атакам. Часто бывает полезным в таких случаях начать думать над любой другой проблемой, имеющей хотя бы отдалённую связь с первоначальной, и посмотреть, нельзя ли приспособить или модифицировать принятые там методы. Именно так в 1932 году мне удалось получить новые результаты, относящиеся к экспоненциальным суммам, — меня навело на мысль внимательное изучение некоторых работ Гаусса. Его метод, хотя и не приложимый к моей проблеме, вдохновил меня на поиски, и я пришёл к новой идее.

Часто исследователь не может добиться в решении проблемы ни малейшего успеха, но старается изо всех сил и приступает к ней снова и снова. И хотя он должен чувствовать себя в положении человека, бьющегося головой о кирпичную стену, он не должен терять терпения. Он просто обязан быть упорным. Он ловит себя на том, что не может оставить проблему, но не может в то же время оставаться прикованным к ней, как мотылёк, приворожённый светом лампы, а должен вырваться из этого плена. Проблема поглощает его мысли независимо от его желания и всплывает в сознании в самые неожиданные моменты. Он может вспомнить о ней во время прогулки, в автомобиле или в поезде, в постели, проснувшись среди ночи или утром (я лично испытывал это на себе несколько раз). Иногда продуктивными оказываются случайные мысли, возникающие во время разговора или при чтении не относящихся к делу книг. Удастся ли при этом добиться успеха или нет — это иное дело, но даже отрицательный результат может вознаградить за затраченные усилия.

Как правило, простые и ясные доказательства — результат значительных усилий.

Компьютер можно сравнить с джином Волшебной лампы, выполняющим в мгновение ока невероятно трудные задания, но становящимся чрезвычайно опасным при неразумном использовании

Книга online полностью 

Поделиться в соц. сетях

«Размышления математика»: 2 комментария

  1. Здравствуйте!
    Спасибо за статью. Уже давно ищу способ войти и научиться думать в пределах математической науки. Все говорят : «гуманитарные мозги могут мыслить только гуманитарно». Бред и атавизм. Пожалуйста, подскажите, если Вам известны, какие-нибудь труды, книги, статьи математиков или людей, понимающих связь всех наук, и которые помогли бы не заучить быстрее все формулы из школьного курса, а реально понять принцип мышления в этой сфере. Спасибо.

  2. Какой-то коктейль популярной психологии, ТРИЗ и феерической отсебятины автора.

    Сейчас перед человечеством стоят намного более актуальные проблемы, чем, например тут. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_mathematics

    И по мере решения глобальных проблем открытые задачи будут отпадать автоматически за ненадобностью. Сейчас бы с экономикой и войнами разрулить, матана и так выше крыши.

    В эзотерических источниках, кстати, рассказывается, как связаны физика, математика, осознанность и подсознание. По мере развития человечество будет открывать эти механизмы и приходить к единству наук. Но пока войны и голод, не до этого.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *